Chứng minh số căn2 là số vô tỉ

Giả sử 2  không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho 2=ab  với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: 22=ab2  hay a2 = 2b2        (1)

Kết quả trên chứng tỏ a là số chẵn, nghĩa là ta có a = 2c với c là số nguyên.

Thay a = 2c vào (1) ta được: (2c)2 = 2b2 hay b2 = 2c2

Kết quả trên chứng tỏ b phải là số chẵn.

Hai số a và b đều là số chẵn, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy 2  là số vô tỉ.