Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A, đường cao AH, từ H kẻ HM vuông góc (ảnh 1)

a) Xét tam giác AHE có AM vừa là đường cao vừa là trung tuyến

Do đó tam giác AHE cân tại A

Suy ra AH = AE, AH là tia phân giác của \(\widehat {HA{\rm{E}}}\)

Suy ra \(\widehat {HAM} = \widehat {MAE} = \frac{1}{2}\widehat {HA{\rm{E}}}\)

Xét tam giác AHD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến

Do đó tam giác AHD cân tại A

Suy ra AH = AD, AN là tia phân giác của \(\widehat {HA{\rm{D}}}\)

Suy ra \(\widehat {HAN} = \widehat {NAD} = \frac{1}{2}\widehat {HAD}\)

Ta có:

\(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {DAN} + \widehat {NAH} + \widehat {HAM} + \widehat {MA{\rm{E}}} = 2\widehat {NAH} + 2\widehat {HAM} = 2\widehat {BAC} = 2.90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra D, A, E thẳng hàng

b) Xét tam giác EDH có M là trung điểm của EH, N là trung điểm của DH

Suy ra MN là đường trung bình

Do đó MN // DE

c) Xét △AHB và △ADB có

AB là cạnh chung

\(\widehat {HAB} = \widehat {BAD}\)(chứng minh câu a)

AH = AD (chứng minh câu a)

Do đó △AHB = △ADB (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {ADB}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \)

Hay AD ⊥ BD (1)

Xét △AHC và △AEC có

AC là cạnh chung

\(\widehat {HAC} = \widehat {EAC}\)(chứng minh câu a)

AH = AE (chứng minh câu a)

Do đó △AHC = △AEC (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AHC} = \widehat {AEC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AEC} = 90^\circ \)

Hay AE ⊥ EC (2)

Từ (1) và (2) suy ra EC // BD

d) Ta có AD = AH, AE = AH (chứng minh câu a)

Suy ra AD = AE = AH

Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat {ANH} = \widehat {AMH} = \widehat {MAN} = 90^\circ \)

Suy ra AMHN là hình chữ nhật

Do đó \(\widehat {MHN} = 90^\circ \)

Hay tam giác DEH vuông tại H

Vậy AD = AE = AH và DHE vuông tại H.

Chứng minh: sin 2a = 2sin a cos a