Chứng minh rằng n^7 – n chia hết cho 7, với mọi n là số nguyên.

Lời giải

Ta có n⁷–n = n(n⁶ – 1)

= n(n³ – 1)(n³ + 1)

= n(n – 1)(n² + n + 1)(n + 1)(n² – n + 1)

= n(n² – 1)(n² + n + 1)(n² – n + 1)

Nếu n = 7k (k ∈ ℤ) thì n ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 1 (k ∈ ℤ) thì n² – 1 = 49k² + 14k ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 2 (k ∈ ℤ) thì n² + n + 1 = 49k² + 35k + 7 ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 3 (k ∈ ℤ) thì n² – n + 1 = 49k² + 35k + 7 ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 4 (k ∈ ℤ) thì n² + n + 1 = 49k² + 35k + 21 ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 5 (k ∈ ℤ) thì n² – n + 1 = 49k² + 70k + 21 ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 6 (k ∈ ℤ) thì n² – 1 = 49k² + 84k + 35 ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Vậy n⁷–nchia hết cho 7, với mọi n là số nguyên.