Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có 2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (n + 1).2n = n.2n + 1.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.21 = 4 = 1.21 + 1.                                               

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:                    

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k = k.2k + 1. 

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1 = (k + 1)2(k + 1) + 1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1

= k.2k + 1 + [(k + 1) + 1].2k + 1

= (2k + 2).2k + 1

= (k + 1).2.2k + 1

= (k + 1)2k + 2

= (k + 1).2(k + 1) + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.