Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n , các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1): b) 3 n + 10 và n + 3 .

Hướng dẫn giải

b) Gọi ƯCLN\(\left( {3n + 10,\,\,n + 3} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), suy ra \(\left( {3n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta suy ra \(\left( {3n + 9} \right)\,\, \vdots \,\,d\).

Do đó \(\left( {3n + 10 - 3n - 9} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(1\,\, \vdots \,\,d\) nên \(d = 1.\)

Vậy \(3n + 10;\,\,n + 3\)là hai số nguyên tố cùng nhau.