Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn bằng ab + bc + ca

Lời giải:

Ta biến đổi đẳng thức như sau

a² + b² + c² – (ab + bc + ca) ≥ 0

\(\left( {\frac{{{a^2}}}{2} - ab + \frac{{{b^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{2} - bc + \frac{{{c^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{2} - ca + \frac{{{b^2}}}{2}} \right)\)≥ 0

\({\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }} - \frac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt 2 }} - \frac{c}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{\sqrt 2 }} - \frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\)≥ 0 luôn đúng