Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: 1.4+2.7+...+n(3n+1)=n(n+1)^2

* Với n =  1:

  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = 1.( 1+1)2 = 4.

 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: 1.4+2.7+⋅⋅⋅+k3k+1=kk+12 2

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k3k+1+k+13k+4=k+1k+22

Thật vậy 1.4+2.7+⋅⋅⋅+k3k+1⏟=kk+12+k+13k+4=kk+12+k+13k+4 

=(k+1).  [k.(k+1)​   +​3k+​   4]=(k​+​1).(k2+​​​4k+​4)  =k+1k+22(đpcm).

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.