Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n

Giả sử tồn tại số nguyên dương n sao cho n2 + 3n + 53 ≡ 0 (mod 49)

Vì 49 chia hết cho 7 nên ta xét  n2 + 3n + 53 = n2 + 3n + 49 + 4

≡ 0 (mod 7)

Nếu n = 0 thì n2 + 3n + 53 ≡ 4 (mod 7)

Nếu n = 1 thì n2 + 3n + 53 ≡ 1 (mod 7)

Nếu n = 2 thì n2 + 3n + 53 ≡ 0 (mod 7)

Nếu n = 3 thì n2 + 3n + 53 ≡ 1 (mod 7)

Nếu n = 4 thì n2 + 3n + 53 ≡ 4 (mod 7)

Nếu n = 5 thì n2 + 3n + 53 ≡ 2 (mod 7)

Nếu n = 6 thì n2 + 3n + 53 ≡ 2 (mod 7)

Thấy chỉ n = 2 thì thỏa mãn giả sử

Xét n = 7k + 2 thì n2 + 3n + 53 = 49k2 + 49k + 63 không chia hết cho 49.

Vậy giả sử ban đầu là sai.

Từ đó ta có điều phải chứng minh.