Chứng minh rằng: với mọi m parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình:

 x2=2(m+3)x−2m+2⇔x2−2(m+3)x−2m−2=0(1)Δ'=(m+3)2−(2m−2)=m2+4m+11=(m+2)2+6>0∀m

 

Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m suy ra (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  x1;x2 là hai nghiệm của phương trình (1), áp dụng định lý Viet ta có:

x1+x2=2(m+3)x1x2=2m−2

 

Hai giao điểm đó có hoành độ dương khi và chỉ khi

x1+x2>0x1x2>0⇔2(m+3)>02m−2>0⇔m>−3m>1⇔m>1

 

Vậy với m>1 thì  (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương.