Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có: a) cos2α + sin2α = 1

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α.

Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1.

Ta có: OP² + MP² = OM²

Mà OP = |x₀| ; MP = OQ = y₀ và OM = 1

Suy ra : |x₀|² + y₀² = 1 tức là x₀² + y₀² = 1 (vì |x₀|² = x₀²)

Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có:

sinα = y₀

cosα = x₀

Suy ra cos² α + sin ² α = x₀² + y₀² = 1

Vậy sin ² α+ cos² α = 1.

b) Với mỗi góc α (0° < α  < 180°, α  ≠ 90°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α .

Khi đó tanα  = y0x0 ; cotα = x0y0;

Suy ra tanα  . cotα  = y0x0. x0y0 = 1.

Vậy tanα  . cotα  = 1 (0° < α  < 180°, α  ≠ 90°).

c) Với α  ≠ 90° ; tanα = và x₀² + y₀² = sin ²α+ cos²α = 1 ; cosα = x₀ ⇒ cos²α = x₀².

Ta có: 1 + tan²α =

1+y0x02=1+y02x²0=x02+y02x²0=1x²0=1cos2α.

Vậy 1 + tan²α = 1cos2α (α ≠ 90°).

d) Với 0° < α < 180° ta có cotα = x0y0 và sinα = y₀ ⇒ sin² α = y₀².

Ta có : 1 + cot²α=

1+x0y02=1+x02y02=x02+y02y02=1y02=1sin2α.

Vậy 1 + cot² α = 1sin2α (0^o < α < 180°).