Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm

Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) có:  Δ=m2−4⋅(−4)=m2+16>0∀m∈ℝ

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt  x1;x2

Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1x1;y1 và A2x2;y2với mọi m

Theo hệ thức Vi-et ta có:  x1+x2=mx1⋅x2=−4

Ta lại có:  y1=x12y2=x22

Theo đề, ta có: y12+y22=72

 

⇒x122+x222=49⇔x1+x22−2x1x22−2x1x22=49⇔m2−2.(−4)2−2−42=49

⇔(m2+8)2=81⇔m2+8=9⇔m=±1

  (trường hợp  m2+8=−9 vô nghiệm vì m2≥0 )

Vậy với m=1;m=−1 thì y12+y22=72.