Chứng minh rằng với mọi a, b thuộc R luôn có: a+b/2.a^2+b^2/2.a^3+b^3/2 nhỏ hơn bằng a^6+b^6/2

Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có:

x+y2.x3+y32≤x4+y42                                         (*)

Thật vậy:

(*)⇔(x+y)(x3+y3)≤2(x4+y4)⇔xy(x2+y2)⇔xy(x2+y2)≤x4+y4

(x−y)2x+y22+3y24≥0, luôn đúng.

Khi đó áp dụng (*), ta được:

a+b2.a2+b22.a3+b32=a+b2.a3+b32.a2+b22

                                     ≤a4+b42.a2+b22≤a6+b62, đpcm.