Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

Giả sử tam giác ABC đều có điểm I cách đều ba cạnh của tam giác, tức IM = IN = IP (hình vẽ).

Khi đó điểm I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

Do tam giác ABC đều nên tam giác ABC cũng cân tại A.

Theo kết quả Ví dụ 2, trang 75, ta có AI là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

• Tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân tại B, do đó BI là đường trung tuyến của tam giác ABC;

• Tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân tại C, do đó CI là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Suy ra AI, BI, CI là ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại điểm I.

Khi đó I là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.