Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng 1/3 chi vi của tam giác

Giả sử độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c với a ≥ b ≥ c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c.

Suy ra a + a < a + b + c.

Hay  a<a+b+c2   (1)

Vì a ≥ b, a ≥ c nên a + a + a ≥ a + b + c.

Hay 3a ≥ a + b + c.

Do đó  a≥a+b+c3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a+b+c3≤a<a+b+c2 .

Mà chu vi của tam giác này là a + b + c.

Vậy trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng 13  chi vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.