Chứng minh rằng trong 30 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 5 có ít nhất 22 hợp số

Lời giải:

Gọi 30 số là a₁; a₂; a₃; ...; a₃₀.

• Nếu luôn có 15 số chia hết cho 2 thì 15 hợp số.

Giả sử a₁ chẵn nếu a₁ chia hết cho 3

Khi đó, a₄; a₁₀; a₁₆; a₂₂; a₂₈ hợp số và là các số lẻ (a₁ + 3 = a₄ do a₁ chẵn nên a₄ lẻ)

Ta được thêm 5 hợp số không trùng với 15 hợp số ở trên tổng là 20 hợp số

• Nếu a₁ chia 3 dư 1 thì a₆; a₁₂; a₁₈ ;a₂₄ ;a₃₀ là hợp số

Khi đó, trong 30 số có ít nhất 20 hợp số (không trùng nhau) thì a₁ chia hết cho 5 được thêm.

Xét tương tự trường hợp 2 hợp số chia hết cho 5 mà không trùng với 20 số trên.