Chứng minh rằng: Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120?

Lời giải:

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2; a + 3; a + 4 

Tích của chúng là a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (a + 4)

Trong tích của 5 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất tích 2 số chẵn liên tiếp.

Mà tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

Nên  a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (a + 4) chia hết cho 8.           (1)

Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp thì luôn chia hết cho 5

(vì trong tích có ít nhất 1 số chia hết cho 5)

Nên a (a + 1) (a + 2) (a +3 ) (a + 4) chia hết cho 5.            (2)

Trong tích của 5 số tự nhiên liên tiếp có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

Tích của 3 số nguyên tố liên tiếp thì chia hết cho 3 

Nên a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (a + 4) chia hết cho .              (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 8; 3; 5 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau.

Suy ra a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (a + 4) chia hết cho 8.5.3 = 120.

Vậy tích 5 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 120.