Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Xét hypebol có phương trình chính tắc là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là: d1 : y=−bax hay bx + ay = 0 và d2 : y=bax hay bx – ay = 0.

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

d(M, d1) = bx+ayb2+a2, d(M, d2) = bx−ayb2+a2.

⇒ d(M, d1).d(M, d2) = bx+ayb2+a2.bx−ayb2+a2=bx2−ay2a2+b2 (*).

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên x2a2−y2b2=1⇒x2b2−a2y2a2b2=1

⇒bx2−ay2=a2b2

Thay vào (*) ta được: d(M, d1).d(M, d2) = a2b2a2+b2=a2b2a2+b2 (không đổi).

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.