Chứng minh rằng tam giác A M E đồng dạng với tam giác A K M và A E ⋅ A K + B I ⋅ B A = 4 R^ 2 .

⦁ Ta có \(\Delta OMI\) và \(\Delta ONI\) có:

\(\widehat {OIM} = \widehat {OIN} = 90^\circ ;\)\(OM = ON\) và \(OI\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta OMI = \Delta ONI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {IOM} = \widehat {ION}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {AOM} = \widehat {AON}\)

Nên hay

Do đó  

Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta AKM\) có: \(\widehat {MAK}\) là góc chung và \(\widehat {AME} = \widehat {AKM}\)

Do đó (g.g).

⦁ Xét \(\Delta AIE\) và \(\Delta AKB\) có: \(\widehat {AIE} = \widehat {AKB} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAK}\) là góc chung.

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) hay \(AI \cdot AB = AE \cdot AK.\)

Từ đề bài, ta có

\(AE \cdot AK + BI \cdot BA = AI \cdot AB + BI \cdot BA = AB\left( {AI + BI} \right) = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}.\)