Chứng minh rằng phương trình căn x^5 +2 x^3 + 15x^2 +14 +2 = 3x^2 +x+1 có đúng năm nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương với x5+2x3+15x2+14x+2=3x2+x+12

⇔x5−9x4−4x3+18x2+12x+1=01

Xét hàm số fx=5−9x4−4x3+18x2+12x+1 liên tục trên R

Ta có: f−2=−95<0,  f−1=1>0,  f−12=−1932<0

f0=1>0,  f2=−47,  f10=7921>0

Do đó phương trình f(x)  có ít nhất năm nghiệm thuộc các khoảng

−2;  −1,  −1;  −12,  −12;  0,  0;  2,  2;  10

Mặt khác f(x)  là đa thức bậc năm nên có tối đa năm nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng năm nghiệm.