Chứng minh rằng phân số (2 n + 5)/(3 n + 7) luôn là một phân số tối giản với mọi n nguyên.

Gọi ƯCLN\(\left( {2n + 5;\,\,3n + 7} \right) = d\).

Khi đó: \(\begin{array}{*{20}{l}}{2n + 5 \vdots d}\\{3n + 7 \vdots d}\end{array}\) suy ra \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3(2n + 5) \vdots d}\\{2(3n + 7) \vdots d}\end{array}} \right.\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6n + 15 \vdots d}\\{6n + 14 \vdots d}\end{array}} \right.\].

Do đó \[\left[ {\left( {6{\rm{ }}n + 15} \right) - \left( {6{\rm{ }}n + 14} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] nên \(1\,\, \vdots \,\,d.\)

Vậy nên \(d\) chỉ có thể là 1 hoặc \[ - 1\] nên phân số đã cho luôn tối giản với mọi \[n\] nguyên.