Chứng minh rằng . p^8n 3p^4n-4 chia hết cho 5 biết p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau và p là số nguyên.

A = p⁸ⁿ + 3p⁴ⁿ ​- 4

= p⁸ⁿ – p⁴ⁿ + 4p⁴ⁿ – 4

= p⁴ⁿ(p⁴ⁿ - 1) + 4 (p⁴ⁿ - 1)

= (p⁴ⁿ - 1)(p⁴ⁿ + 4)

= (p²ⁿ - 1)(p²ⁿ + 1)(p⁴ⁿ + 4)

Ta đã biết tính chất của số chính phương chia 5 được dư là 0, 1 hoặc 4

Vì p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên p không chia hết cho 5 nên p²ⁿ chia 5 dư 1 hoặc 4

Nếu p²ⁿ chia 5 dư 1 thì p²ⁿ – 1 ⋮ 5 ⇒ p⁸ⁿ + 3p⁴ⁿ ​- 4 ⋮ 5

Nếu p²ⁿ chia 5 dư 4 thì p²ⁿ + 1 ⋮ 5 ⇒ p⁸ⁿ + 3p⁴ⁿ ​- 4 ⋮ 5

Vậy A = p⁸ⁿ + 3p⁴ⁿ ​- 4 chia hết cho 5 biết p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau và p là số nguyên.