Chứng minh rằng nếu x, y là hai số nguyên dương thoả mãn x² + 4xy - 8y²- 4y + 1= 0 thì 2y - x là số chính phương

Lời giải:

x² + 4xy - 8y²- 4y + 1= 0

⇔ x² + 4xy – 12y² + 4y² – 4y + 1 = 0

⇔ (x – 2y)(x + 6y) + (2y – 1)² = 0

⇔ (2y – x)(x + 6y) = (2y – 1)²

Đặt d = ƯCLN(2y – x; x + 6y)

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}2y - x \vdots d\\x + 6y \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2y - x} \right) + \left( {x + 6y} \right) \vdots d \Rightarrow 8y \vdots d\left( 1 \right)\]

Mà (2y – 1)² = (2y – x)(x + 6y) ⋮ d²

Suy ra: 2y – 1\[ \vdots d\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra: d = 1

Tức là 2y – x và x + 6y nguyên tố cùng nhau mà tích của 2 số là số chính phương

Nên 2y - x và x + 6y là số chính phương

Vậy 2y - x là số chính phương