Chứng minh rằng nếu \(a(y + z) =b (z + x) = c(x + y) với a,b,c là các số khác nhau và khác 0 thì (y - z)/a(b - c) = (z - x)/b(c - a) = (x - y)c/(a - b).

\(a\left( {y + z} \right) = b\left( {z + x} \right) = c\left( {x + y} \right)\) (1)

Vì \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) nên chia các vế của (1) cho \(abc\), ta được:

\(\frac{{a\left( {y + z} \right)}}{{abc}} = \frac{{b\left( {z + x} \right)}}{{abc}} = \frac{{c\left( {x + y} \right)}}{{abc}}\).

Suy ra \(\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{x + y}}{{ab}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{\left( {x + y} \right) - \left( {z + x} \right)}}{{ab - ac}} = \frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}}\);

\[\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{x + y}}{{ab}} = \frac{{\left( {y + z} \right) - \left( {x + y} \right)}}{{bc - ab}} = \frac{{z - x}}{{b\left( {c - a} \right)}}\];

\(\frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{\left( {z + x} \right) - \left( {y + z} \right)}}{{ac - bc}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}\).

Do đó \(\frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}} = \frac{{z - x}}{{b\left( {c - a} \right)}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}\) (đpcm).