Chứng minh rằng nếu (a + b/(b + c) =(c + d)/(d + a) (c + d khác 0 ) thì a = c hoặc a + b + c + d = 0

Vì \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}\,\) nên \(\frac{{a + b}}{{c + d}} = \frac{{b + c}}{{d + a}}\,\)

Suy ra \(\frac{{a + b}}{{c + d}} + 1 = \frac{{b + c}}{{d + a}}\, + 1\).

Do đó \[\frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{c + d}}{{c + d}} = \frac{{b + c}}{{d + a}}\, + \frac{{d + a}}{{d + a}}\] hay \(\frac{{a + b + c + d}}{{c + d}} = \frac{{b + c + d + a}}{{d + a}}\,\)                \((*)\)

Nếu \(a + b + c + d \ne 0\) nên từ \((*)\) suy ra \(a + d = c + d \Rightarrow a = c\);

Nếu \(a + b + c + d = 0\) thì ta có tỉ lệ thức luôn đúng (\(a\) có thể bằng hoặc không bằng \(c\)).

Vậy nếu \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}\,\,(c + d \ne 0)\) thì \(a = c\) hoặc \(a + b + c + d = 0\).