Chứng minh rằng n3 (n2 – 7)2 – 36n chia hết cho 7.

n³ (n² – 7)² – 36n

= n [n² (n² – 7)² – 6²]

= n [n (n² – 7) – 6][ n (n² – 7) + 6]

= n (n³ – 7n – 6)(n³ – 7n + 6)

= n (n³ – 3n² + 3n² – 9n + 2n – 6)( n³ + 3n² – 3n² – 9n + 2n + 6)

= n [(n2 (n – 3) + 3n (n – 3) + 2(n – 3)][(n² (n + 3) – 3n (n – 3) + 2(n + 3)]

= n(n – 3)(n + 3)(n² + 3n + 2)(n² – 3n + 2)

= n(n – 3)(n + 3)(n + 1)(n + 2)(n – 1)(n – 2).

Ta thấy đây là 7 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 7.

Suy ra: tích của 7 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 7 hay n³ (n² – 7)² – 36n chia hết cho 7.

Vậy n³ (n² – 7)² – 36n chia hết cho 7.