Chứng minh rằng: m , n , p lần lượt tỉ lệ với x , y , z (giả sử các tỉ số đều có nghĩa).

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có các số \(m\), \(n\), \(p\) khác 0 nên \({m^2} + {n^2} + {p^2} \ne 0\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{nz - py}}{m} = \frac{{px - mz}}{n} = \frac{{my - nx}}{p} = \frac{{mnz - mpy}}{{{m^2}}} = \frac{{npx - mnz}}{{{n^2}}} = \frac{{mpy - npx}}{{{p^2}}}\] \[ = \frac{{mnz - mpy + npx - mnz + mpy - npx}}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = \frac{0}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = 0\]

Từ đó suy ra: \(nz - py = 0\); \(px - mz = 0\); \(my - nx = 0\)

Suy ra \(nz = py\); \(px = mz\); \(my = nx\)

Suy ra \(\frac{n}{y} = \frac{p}{z}\); \(\frac{p}{z} = \frac{m}{x}\); \(\frac{m}{x} = \frac{n}{y}\) (với \(x\), \(y\), \(z\) khác 0)

Suy ra \(\frac{m}{x} = \frac{n}{y} = \frac{p}{z}\).

Vậy \(m\), \(n\), \(p\) lần lượt tỉ lệ với \(x\), \(y\), \(z\) (điều phải chứng minh).