Chứng minh rằng: M =  - 4 hoặc M = 4

Từ \[\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2d}}{d}\]

Suy ra, \[\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{a + 2b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + 2d}}{d} - 1\]

Ta có: \[\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{2a + b + c + d}}{a} - \frac{a}{a} = \frac{{2a + b + c + d - a}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{a}\]     (1)

Tương tự: \[\frac{{a + 2b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + c + d}}{b}\]        (2)

\[\frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + d}}{c}\]     (3)

\[\frac{{a + b + c + 2d}}{d} - 1 = \frac{{a + b + c + d}}{d}\]     (4)

Từ (1); (2); (3); (4) ta có: \[\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{d}\]

Trường hợp 1: \(a + b + c + d = 0\)\( \Rightarrow \frac{0}{a} = \frac{0}{b} = \frac{0}{c} = \frac{0}{d} = 0\) (đúng)

Khi đó, \(a + b =  - \left( {c + d} \right);\left( {b + c} \right) =  - \left( {a + d} \right)\)

Thay vào \(M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}\), ta được:

\(M = \frac{{ - \left( {c + d} \right)}}{{c + d}} + \frac{{ - \left( {d + a} \right)}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{ - \left( {c + d} \right)}} + \frac{{d + a}}{{ - \left( {d + a} \right)}}\)\( = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) =  - 4\).

Trường hợp 2: \(a + b + c + d \ne 0\)

\[\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{d} = \frac{{4\left( {a + b + c + d} \right)}}{{a + b + c + d}} = 4\].

Khi đó, \[\frac{{a + b + c + d}}{a} = 4\] hay \(a + b + c + d = 4a \Rightarrow b + c + d = 3a\) (5)

Tương tự, \(a + c + d = 3b\,\,\left( 6 \right);a + b + d = 3c\,\,\left( 7 \right);a + b + c = 3d\,\,\left( 8 \right)\)

Lấy (5) – (6) theo vế ta được:

\(\left( {b + c + d} \right) - \left( {a + c + d} \right) = 3a - 3b\)

\(b + c + d - a - c - d = 3a - 3b\)

\(b - a = 3a - 3b\)

\(b + 3b = 3a + a\)

\(4b = 4a\)

\(a = b\). Chứng minh tương tự ta được \(a = b = c = d\).

Thay vào \(M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}\) ta được:

\(M = \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}}\)\( = \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}}\)\( = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\).

Vậy \(M = 4\) hoặc \(M =- 4\).