Chứng minh rằng K B . A C = K C . A B .

Vì nên \(\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Mà \(M,N\) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \(BD\) và \(CE\) nên \(BD = 2BM\) và \(CE = 2CN.\)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CE}} = \frac{{2BM}}{{2CN}} = \frac{{BM}}{{CN}}.\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACN\) có: \(\frac{{BM}}{{CN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (cmt)

                                         \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (cùng phụ với \(\widehat {BAC}\))

Do đó, (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {CAN}\) (hai góc tương ứng)

Lại có \(AK\) là tia phân giác của \(\widehat {MAN}\) (giả thiết)

Suy ra \(\widehat {KAM} = \widehat {KAN}\) (tính chất tia phân giác của một góc)

Do đó, \(\widehat {KAM} + \widehat {BAM} = \widehat {KAN} + \widehat {CAN}\) hay \(\widehat {BAK} = \widehat {KAC}\).

Nên \(AK\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Theo tính chất tia phân giác của tam giác, ta có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).

Do đó, \(KB.AC = KC.AB\) (điều phải chứng minh).