Chứng minh rằng hàm số f(x)=(x-1)^2, x>=0; -2x^2, x<0 không có đạo hàm tại nhưng có đạo hàm tại .

Ta có limx→0+fx=limx→0+x−12=1;limx→0−fx=limx→0−−x2=0⇒limx→0+fx≠limx→0−fx.

Suy ra hàm số gián đoạn tại   nên không có đạo hàm tại đó.

limΔx→0f2+Δx−f2Δx=limΔx→01+Δx2−12Δx=limΔx→02+Δx=2.

Vậy hàm số y=fx  có đạo hàm tại x=2  và f'2=2.