Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 hay d: ax – y + b = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\, - 1} \right)\).

Lại có: y = a'x + b' ⇔ a'x – y + b' = 0 hay d': a'x – y + b' = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là \(\overrightarrow {n'} = \left( {a';\,\, - 1} \right)\).

Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau khi \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {n'} = 0\)\( \Leftrightarrow a.a' + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow a.a' + 1 = 0 \Leftrightarrow a.a' = - 1\).

Vậy d ⊥ d' ⇔ aa' = – 1.