Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: A=[1/2 căn bậc 3 (20+14 căn 2).(căn (6−4 căn 2))+1/2 căn bậc 3 ((a+3) căn a−3a−1)]:[a−1/2(căn a+1)+1]

Ta có:

\[A = \left[ {\frac{1}{2}\sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }}.\sqrt {6 - 4\sqrt 2 } + \frac{1}{2}\sqrt[3]{{\left( {a + 3} \right)\sqrt a - 3a - 1}}} \right]:\left[ {\frac{{a - 1}}{{2\left( {\sqrt a + 1} \right)}} + 1} \right]\]

\[A = \left[ {\frac{1}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^3}}}.\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^2}} + \frac{1}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^3}}}} \right]:\left[ {\frac{{a + 2\sqrt a + 1}}{{2\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right]\]

\[A = \left[ {\frac{1}{2}\left( {4 - 2} \right) + \frac{1}{2}\left( {\sqrt a - 1} \right)} \right]:\frac{{\sqrt a + 1}}{2}\]

\[A = \frac{{\sqrt a + 1}}{2}:\frac{{\sqrt a + 1}}{2} = 1\]

Vậy giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.