chứng minh rằng frac{a}{a b} frac{b}{b c} frac{c}{c a} không phải số nguyên

Lời giải:

A = \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{a + b}} > \frac{a}{{a + b + c}}\\\frac{b}{{b + c}} > \frac{b}{{a + b + c}}\\\frac{c}{{c + a}} > \frac{c}{{a + b + c}}\end{array} \right.\)

Suy ra \[\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} > \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + c}} + \frac{c}{{a + b + c}}\]

Mà \(\frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + c}} + \frac{c}{{a + b + c}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\)

Do đó A > 1         (1)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\\\frac{b}{{b + c}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c}}\\\frac{c}{{c + a}} < \frac{{c + b}}{{a + b + c}}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}} + \frac{{b + a}}{{a + b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + b + c}}\)

Mà \(\frac{{a + c}}{{a + b + c}} + \frac{{b + a}}{{a + b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + b + c}} = \frac{{a + c + b + a + c + a}}{{a + b + c}} = \frac{{2(a + b + c)}}{{a + b + c}} = 2\)

Do đó A < 2        (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1 < A < 2

Vậy A = \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}}\) không phải là số nguyên (đpcm)