Chứng minh rằng điểm G luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm M thay đổi trên đường tròn ( O ) .

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó, \(KC = KB.\) (1)

Do \(G\) là trọng tâm của \(\Delta MBC\) nên \(\frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}.\)

Ta có \(KC = KA + CA = KA + R\) và \(KB = KO + OB = KO + R.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(KA = KO.\) Do đó \(K\) là trung điểm của \(AO\) nên \(KA = KO = \frac{1}{2}AO.\) (3)

Gọi \(E,\,\,I\) là các điểm thuộc đoạn \(AO\) sao cho \(AE = EI = IO = \frac{1}{3}AO.\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{\frac{1}{3}AO}}{{\frac{1}{2}AO}} = \frac{2}{3}.\)

Xét \(\Delta AKM\) có \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}\) nên \(EG\,{\rm{//}}\,AM\) (định lí Thalès đảo).

Lại có \(AM \bot BM\) nên \(EG \bot BM.\) (5)

Ta có \[KB = KO + OB = KO + OA = KO + 2KO = 3KO\] nên \(\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{1}{3}.\)

Xét \(\Delta BKM\) có \(\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}\) nên \(OG\,{\rm{//}}\,BM\) (định lí Thalès đảo). (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(EG \bot OG\) hay \[\widehat {EGO} = 90^\circ .\]

Xét \(\Delta EGO\) vuông tại \(G\) có \(I\) là trung điểm của cạnh huyền \(EO\) nên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EGO\) có tâm là \(I\) và bán kính bằng \(\frac{{EO}}{2}.\)

Do \(AB\) cố định nên \(O,\,\,E,\,\,I\) cố định.

Như vậy, điểm \(G\) nằm trên đường tròn đường kính \(EO\) cố định.