Chứng minh rằng dãy số { u 1 = √ 2 u n + 1 = √ u n + 2 tăng và bị chăn trên bởi 2.

⦁ Ta có \({u_n} > 1\)

Giả sử tồn tại \({u_n} \ge 2 \Rightarrow \sqrt {{u_{n - 1}} + 2}  \ge 2 \Rightarrow {u_{n - 1}} \ge 2\)

Như vậy, nếu tồn tại \({u_n} \ge 2\) thì suy ra \({u_{n - 1}} \ge 2\), từ đó cũng suy ra được \({u_{n - 2}},{u_{n - 3}} \ldots {u_2},{u_1} \ge 2\) vô lý

Do \({u_1} = \sqrt 2  < 2.\) Nên điều giả sử là sai.

Suy ra \({u_n} < 2\) (1)

⦁ Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \sqrt {{u_n} + 2}  - {u_n} = \frac{{{u_n} + 2 - u_n^2}}{{\sqrt {{u_n} + 2}  + {u_n}}} = \frac{{\left( {2 - {u_n}} \right)\left( {1 + {u_n}} \right)}}{{\sqrt {{u_n} + 2}  + {u_n}}} > 0\)

Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n},\) nên đây là dãy tăng (2)

Từ (1) và (2) suy ra dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi 2.