1.Với a = 2 ta có 2a + 1 = 5 không thích hợp

Với a ≠2 do a là số nguyên tố nên a lẽ

Vậy 2a + 1 là lập phương của một số lẽ nghĩa là

Từ đó k là ước của a. Do k là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = a

-Nếu k = 1 thì 2a + 1 = (2.1 + 1)³ suy ra a = 13 thớch hợp

- Nếu a = k từ a = a(4a² + 6a + 3) do a là nguyên tố nên suy ra

1 = 4a² + 6a + 3 không có số nguyên tố a nào thoả món phương trỡnh này Vì vế phải luụn lớn hơn 1

Vậy a = 13

2.Giả sử

13 và p là các số nguyên tố , mà n – 1 > 1 và n² + n + 1 > 1

Nên n – 1 = 13 hoặc n – 1 = p

- Với n – 1 =13 thì n = 14 khi đó 13p = n³ – 1 = 2743 suy ta p = 211 là số nguyên tố

- Với n – 1 = p thi n² + n + 1 = 13 suy ra n = 3 . Khi đó p = 2 là số nguyên tố

Vậy p = 2, p = 211 thì 13p + 1 là lập phương của một số tự nhiên

Chứng minh rằng dãy a n = 10^n + 3 có vô số hợp số.