Chứng minh rằng các số 3n + 4 không là số chính phương

Lời giải:

Với n = 0 Þ 3ⁿ + 4 = 5 không là số chính phương

Với n = 1 Þ 3ⁿ + 4 = 7 không là số chính phương.

Với n ³ 2

Giả sử 3ⁿ + 4 là số chính phương

Ta có: 3ⁿ + 4 = m² (m Î\(\mathbb{N}\), m > 3)

Suy ra m² – 4 = 3ⁿ

Suy ra (m – 2)(m + 2) = 3ⁿ

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = {3^k}\\m + 2 = {3^q}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k,q \in \mathbb{N};\,k + q = n} \right)\)

Suy ra (m + 2) – (m + 2) = 3^q – 3^k nên 4 = 3^q – 3^k

Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}4\cancel{ \vdots }\,3\\\left( {{3^q} - {3^k}} \right) \vdots 3\end{array} \right.\) là điều mâu thuẫn với nhau so với đẳng thức (*)

Vậy 3ⁿ + 4 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n