Chứng minh rằng các phân số sau tối giản n thuộc N^*) a) (n + 2)/(2n + 5)

Hướng dẫn giải

a) Gọi ƯCLN\[\left( {n + 2;2n + 5} \right) = d.\]

Khi đó \[n + 2\,\, \vdots \,d\] và \[2n + 5\,\, \vdots \,\,d\]

Từ \[n + 2\,\, \vdots \,d\] suy ra \[2n + 4\,\, \vdots \,\,d\]

Do đó \[\left[ {\left( {2n + 5} \right) - \left( {2n + 4} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\]

Hay \[1\,\, \vdots \,\,d\]

Suy ra \[d = 1.\]

Vậy phân số \[\,\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}\] tối giản.

b) Gọi ƯCLN\[\left( {2n + 3;\,\,4n + 8} \right) = d.\]

Khi đó \[2n + 3\,\, \vdots \,\,d\] và \[4n + 8\,\, \vdots \,\,d.\]

Từ \[2n + 3\,\, \vdots \,\,d\] suy ra \[4n + 6\,\, \vdots \,\,d\]

Do đó \[\left[ {\left( {4n + 8} \right) - \left( {4n + 6} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\]

Hay \[2\,\, \vdots \,\,d\] suy ra \[d \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\]

Với \[d = 2\] thì \[2n + 3\,\, \vdots \,\,2\] (vô lí)

Do đó \[d = 1.\]

Vậy phân số \[\,\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}\] tối giản.

c) Gọi ƯCLN\[\left( {3n + 2;\,\,5n + 2} \right) = d\]

Khi đó \[3n + 2\,\, \vdots \,\,d\] và \[5n + 3\,\, \vdots \,\,d\]

Suy ra \[15n + 10\,\, \vdots \,\,d\] và \[15n + 9\,\, \vdots \,\,d\]

Do đó \[\left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right]\, \vdots d\]

Hay \[1\,\, \vdots \,\,d\] suy ra \[d = 1.\]

Vậy phân số \[\,\frac{{3n + 2}}{{5n + 2}}\] tối giản.