Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 13 = 12(1+1)24. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:13+23+33+…+k3=k2(k+1)24.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:13+23+33+…+k3+(k+1)3=(k+1)2[(k+1)+1]24.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

13+23+33+…+k3+(k+1)3

=k2(k+1)24+(k+1)3

=k2(k+1)24+4(k+1)34

=(k+1)2[k2+4(k+1)]4

=(k+1)2(k2+4k+4)4

=(k+1)2(k+2)24=(k+1)2[(k+1)+1]24.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)2. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]

=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]

=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]

=(k+1)(k2+4k+4)

=(k+1)(k+2)2=(k+1)[(k+1)+1]2.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(2.1−1)(2.1+1)=13=12.1+1. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:11.3+13.5+15.7+…+1(2k−1)(2k+1)=k2k+1.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:11.3+13.5+15.7+…+1(2k−1)(2k+1)+1[2(k+1)−1][2(k+1)+1]=k+12(k+1)+1.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:11.3+13.5+15.7+…+1(2k−1)(2k+1)+1[2(k+1)−1][2(k+1)+1]

=k2k+1+1[2(k+1)−1][2(k+1)+1]

=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)

=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)

=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)

=(k+1)(2k+1)(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.