Chứng minh rằng bất đẳng thức 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n nhỏ hơn hoặc bằng (n+1)/2 đúng với mọi n thuộc N*

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 11=1=1+12. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:1+12+13+…+1k≤k+12.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:1+12+13+…+1k+1k+1≤(k+1)+12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1+12+13+…+1k+1k+1≤ k+12+1k+1=(k+1)2+22(k+1)=k2+2k+32(k+1)≤k2+2k+1+22(k+1)≤k2+2k+k+22(k+1)=k2+3k+22(k+1)=(k+1)(k+2)2(k+1)=k+22=(k+1)+12.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.