Chứng minh rằng: a) tanx ≥ x với mọi x ∈ (0, pi/2); b) lnx ≤ x – 1 với mọi x > 0.

a) Đặt f(x) = tanx – x với mọi x ∈ \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Ta có: f'(x) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\) > 0 với mọi x ∈ \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Do đó f(x) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), nên f(x) ≥ f(0) – 0 hay tanx ≥ x với mọi

x ∈ \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

b) Đặt f(x) = lnx – x + 1 với mọi x > 0.

Ta có: f'(x) = \(\frac{1}{x}\) − 1

           f'(x) = 0 ⇔ x = 1.

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Do đó f(x) ≤ f(1) – 0 với mọi x > 0  hay lnx ≤ x – 1 với mọi x > 0.