Chứng minh rằng A = n^3 (n^2 -7)^2 -36n chia hết cho 5040

Phân tích ra thừa số 5040=24.32.5.7

Phân tích A=nn2n2−72−36=nn3−7n2−62=nn3−7n−6n3−7n+6.

Ta lại có n3−7n−6=n+1n+2n−3,

n3−7n+6=n−1n−2n+3

Do đó A=n−3n−2n−1nn+1n+2n+3.

Đây là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong bảy số nguyên liên tiếp:

– Tồn tại một bội số của 5 (nên A chia hết cho 5);

– Tồn tại một bội số của 7 (nên A chia hết cho 7);

– Tồn tại hai bội số của 3 (nên A chia hết cho 9);

– Tồn tại ba bội số của 2, trong đó có một bội số của 4 (nên A chia hết cho 16).

A chia hết cho các số 5, 7, 9, 16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16=5040.