Chứng minh rằng A M ⋅ B N = 2 R 2 và tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ để diện tích tam giác B N C đạt giá trị lớn nhất.

29/30

3) Chứng minh rằng $AM \cdot BN = 2{R^2}$ và tìm vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ để diện tích tam giác $BNC$đạt giá trị lớn nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$3) Chứng minh rằng $AM \cdot BN = 2{R^2}$ và tìm vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ để diện tích tam giác $BNC$ đạt giá trị lớn nhất. (ảnh 1)$

⦁Ta có $BP \bot DN$ nên $\widehat {BPN} = 90^\circ .$

Ta có $DN \bot CD$và $AB \bot CD$ nên $BA\,{\rm{//}}\,DN,$ suy ra $\widehat {ABM} = \widehat {DNB}$(đồng vị).

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta BPN$ có:

$\widehat {AMB} = \widehat {BPN} = 90^\circ $ và $\widehat {ABM} = \widehat {BND}$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AM}}{{BP}} = \frac{{AB}}{{BN}}$ nên $AM \cdot BN = AB \cdot BP.\,\left( 3 \right)$

Xét tứ giác $OBPD$có $\widehat {DOB} = \widehat {BPD} = \widehat {ODP} = 90^\circ $và $OD = OB = R$

Suy ra $OBPD$ là hình vuông nên $OD = OB = BP = R$ (4)

Từ (3) và (4) ta có$AM \cdot BN = AB \cdot BP = 2R \cdot R = 2{R^2}.$

⦁ Kẻ $EF \bot BC,\,\,NK \bot BC$

Ta có ${S_{BNC}} = \frac{1}{2}NK \cdot BC.$ Do $BC$ không đổi nên ${S_{BNC}}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $NK$ lớn nhất.

Do $EF \bot BC,\,\,NK \bot BC$nên $EF\,{\rm{//}}\,NK.$

Khi đó, tứ giác $EFKN$ là hình bình hành, lại có $\widehat {EFK} = 90^\circ $ nên hình bình hành $EFKN$ là hình chữ nhật. Do đó $EF = NK.$

Ta có $NK$ lớn nhất khi $EF$ lớn nhất, điều này xảy rakhi điểm $E$ trùng với điểm $O,$khi điểm $M$ trùng điểm $B.$