a) ĐKXĐ: x + 2 ≠ 0 hay x ≠ −2.

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình

\(\frac{{{x^2} - 2x + 4 - 2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{{x^3} + 8}}\)

\(\frac{{{x^2} - 4x}}{{{x^3} + 8}} = \frac{{x - 4}}{{{x^3} + 8}}.\)

Suy ra x² – 4x = x – 4

x(x – 4) – (x – 4) = 0

(x – 1)(x – 4) = 0

Suy ra x – 1 = 0 hoặc x – 4 = 0.

• x – 1 = 0 hay x = 1.

• x – 4 = 0 hay x = 4.

Kết hợp với ĐKXĐ, phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 4.

b) ĐKXĐ: x – 4 ≠ 0 và x + 4 ≠ 0 hay x ≠ 4 và x ≠ −4.

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình

\(\frac{{2x\left( {x + 4} \right) + 3\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{x - 12}}{{{x^2} - 16}}\)

\(\frac{{2{x^2} + 8x + 3x - 12}}{{{x^2} - 16}} = \frac{{x - 12}}{{{x^2} - 16}}.\)

Suy ra 2x² + 8x + 3x – 12 = x – 12

2x² + 11x – 12 = x – 12

2x² + 11x – 12 – x + 12 = 0

2x² + 10x = 0

x(2x + 10) = 0

Suy ra x = 0 hoặc 2x + 10 = 0.

• x = 0.

• 2x + 10 = 0 hay x = −5.

Kết hợp với ĐKXĐ, phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = −5.

Chứng minh rằng 4a^2 + 9b^2 ≥ 12ab với mọi số thực a, b.