Chứng minh rằng: 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2.

Ta cần chứng minh: 1³ + 2³ + 3³ +....+ n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)² (*)

Với n = 1 ta có 1³ = 1² (đúng) nên (*) đúng.

Giả sử (*) đúng với  n = k tức là: 

1³ + 2³ + 3³ +...+ k³= (1 + 2 + ... + k)² (đúng)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1.

Tức là ta cần chứng minh:

1³ + 2³ + 3³ +...+ k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + ... + k + 1)².

Thật vậy, ta có:

1³ + 2³ + 3³ +...+ k³ + (k + 1)³

= (1 + 2 + 3 + ... + k)²  + (k + 1)³

= [k(k + 1) : 2]² + (k + 1)³

\[ = {\left( {k + 1} \right)^2}\left( {\frac{{{k^2}}}{4} + k + 1} \right) = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 2k + 2k + 4} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 2k + 2k + 4} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left[ {k\left( {k + 2} \right) + 2\left( {k + 2} \right)} \right]}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {k + 2} \right)\left( {k + 2} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\]

\[ = {\left[ {\frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}} \right]^2}\]

Mặt khác ta cũng có: 

1 + 2 + 3 + 4 +...+ k + k + 1 \( = \frac{{\left( {k + 1 + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}{2}\)\( = \frac{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}}{2}\)

Do đó (1 + 2 + 3 + ... + k + 1)² \( = {\left[ {\frac{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}}{2}} \right]^2}.\)

Vậy 1³ + 2³ + 3³ +...+ n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)².