Chứng minh rằng: 1/k + 1 Cn^k = 1/(n + 1)Cn + 1^k + 1 với 0 ≤ k ≤ n.
Giải thích
Lời giải
Ta có \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right).n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left[ {\left( {n + 1} \right) - \left( {k + 1} \right)} \right]!}}\)
\( = \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left[ {\left( {n + 1} \right) - \left( {k + 1} \right)} \right]!}}\)
\( = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\).
Vậy \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với 0 ≤ k ≤ n.