Chứng minh phương trình luôn x^n + a1x^(n-1) + a2x^(n-2) +...+ a(n-1)x + an = 0

Hàm số f(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0 xác định trên R

- Ta có

Vì  nên với dãy số (xn) bất kì mà xn → +∞ ta luôn có lim f(xn) = +∞

Do đó, f(xn) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì f(xn) > 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho f(a) > 1 (1)

Vì  nên với dãy số (xn) bất kì mà xn → −∞ ta luôn có lim f(xn) = −∞ hay lim[−f(xn)] = +∞

Do đó, −f(xn) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì −f(xn) > 1 kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho −f(b) > 1 hay f(b) < −1 (2)

- Từ (1) và (2) suy ra f(a).f(b) < 0

Mặt khác, f(x) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]

Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.