Chứng minh phương trình -cos ^2 x . sin^2 x +m cos x -3m +1/ sin ^2 -cosx-3 luôn có nghiệm với mọi m>1 .

Lời giải

cos2x.sin2x−mcosx+3m−1sin2x+cosx+1=m⇔−cos4x+cos2x−mcosx+3m−1−cos2x+cosx+2=mcosx≠−1

Điều kiện: cosx≠−1.

Với điều kiện trên ta có

Phương trình⇔cos4x−cos2x+mcosx−3m+1=mcos2x−cosx−2

⇔cos4x−m+1cos2x+2mcosx−m+1=0.

Xét hàm số fx=cos4x−m+1cos2x+2mcosx−m+1 là hàm liên tục trên R nên cũng liên tục trên 0;π2. Mặt khác fπ2=1−m<0 (vì m>1) và f0=1−m+1+2m−m+1=1>0.

Suy ra: f0.fπ2<0.

Do đó phương trình f(x)=0 luôn có ít nhất một nghiệm x0∈0;π2 (thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình −cos2x.sin2x+mcosx−3m+1sin2x−cosx−3=m luôn có nghiệm với mọi m>1 (đpcm)