Chứng minh phương trình: (1  m2)(x + 1)3 + x2  x  3 = 0 có nghiệm với mọi m.

Đặt f (x) = (1 - m²)(x + 1)³ + x² - x - 3 = 0 liên tục trên ℝ

Ta có:

+ f (0) = (1 - m²) - 3 = -2 - m² < 0 ("m Î ℝ)

+ f (-2) = - (1 - m²) + (-2)² - (-2) - 3

= m²  - 1 + 4 + 2 - 3 = m² + 2 > 0 ("m Î ℝ)

Xét f (-2). f (0) = (m² + 2).(-2 - m²) = - (m² + 2)² < 0 ("m Î ℝ)

Nên suy ra phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0)

Từ đây có thể kết luận được phương trình: (1 - m²)(x + 1)³ + x² - x - 3 = 0 có nghiệm với mọi m.