Chứng minh phân số (12n + 1)/(30n + 2) là phân số tối giản với mọi số nguyên n

Gọi ước chung lớn nhất của \[\left( {12n + 1} \right)\] và \[\left( {30n + 2} \right)\] là \[d\]:

\(\left\{ \begin{array}{l}12n + 1 \vdots d\\30n + 2:d\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5.\left( {12n + 1} \right) \vdots d\\2.\left( {30n + 2} \right) \vdots d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}60n + 5 \vdots d\\60n + 4 \vdots d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\left( {60n + 5} \right) - \left( {60n + 4} \right)} \right] \vdots d\)

\( \Leftrightarrow \left( {60n + 5 - 60n - 4} \right) \vdots d\)

\(hay{\rm{ 1}} \vdots d\)\( \Rightarrow d =  \pm 1\).