Chứng minh P Q luôn đi qua điểm cố định khi M di động trên d .

Xét \(\Delta OPK\) và \(\Delta OMP\) có: \(\widehat {OKP} = \widehat {OPM} = 90^\circ \) và \(\widehat {POM}\) là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{OP}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OP}}\) nên \(O{P^2} = OK \cdot OM.\)

Mà \(IO \cdot OH = OK \cdot OM\) (câu 2) nên \(O{P^2} = IO \cdot OH.\) Suy ra \(OI = \frac{{O{P^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}}.\)

Vì đường tròn \(\left( O \right)\) và đường thẳng \(d\) cố định nên \(OH\) cố định. Như vậy, điểm \(I\) nằm trên \(OH\) cố định với \(OI = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\) không đổi là một điểm cố định.

Mà \(PQ\) đi qua điểm \(I\) nên khi điểm \(M\) di động trên đường thẳng \(d\) thì \(PQ\) luôn đi qua điểm \(I\) cố định.